已知椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 的左顶点为 $C$，右焦点为 $F$．过 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆与 $A,B$ 两点，直线 $CA, CB$ 分别与直线 $x=10$ 交于点 $M, N$．试求线段 $MN$ 的长度关于直线 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 的表达式，并求线段 $MN$ 的长度的最小值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(21)
【标注】
【答案】
略
【解析】
设直线 $CA, CB$ 分别与椭圆的右准线 $m: x = \frac{25}{3}$ 交于点 $M', N'$，首先求 $|M'N'|$ 的表达式及最小值．
如图4所示，过点 $A, B$ 作直线 $m$ 的垂线，垂足分别为 $P, Q$，设直线 $m$ 与 $x$ 轴交于 点 $T$，则$$\begin{aligned}
&|FT|=|FA|\cos\theta+|PA|=|FA|\cos\theta+\frac{|FA|}{e}\\
&\Rightarrow |FA|=\frac{e|FT|}{1+e\cos\theta}=\frac{16}{5+3\cos\theta}.\\
\end{aligned}$$类似地，$|FB|=\frac{16}{5-3\cos\theta}$．
易知 $|TC|=\frac{40}{3}$，由$$\frac{|PA|}{|TC|}=\frac{|PM'|}{|TM'|}=1-\frac{|TP|}{|TM'|},$$结合 $|PA|=\frac{|FA|}{e}, |TP|=|FA|\sin\theta$，得$$|TM'|=\frac{16\sin\theta}{3(1+\cos\theta)}.$$同理，$|TN'|=\frac{16\sin\theta}{3(1-\cos\theta)}$．故$$|M'N'|=|M'T|+|TN'|=\frac{32}{3\sin\theta}\geqslant \frac{32}{3}.$$当 $AB\perp x$ 轴时，上式取到最小值．
由于$$\frac{|M'N'|}{|MN|}=\frac{|TC|}{10+5}=\frac{8}{9},$$故 $|MN|=\frac{12}{\sin\theta}$，且 $|MN|$ 的最小值为 $12$．
如图4所示，过点 $A, B$ 作直线 $m$ 的垂线，垂足分别为 $P, Q$，设直线 $m$ 与 $x$ 轴交于 点 $T$，则$$\begin{aligned}
&|FT|=|FA|\cos\theta+|PA|=|FA|\cos\theta+\frac{|FA|}{e}\\
&\Rightarrow |FA|=\frac{e|FT|}{1+e\cos\theta}=\frac{16}{5+3\cos\theta}.\\
\end{aligned}$$类似地，$|FB|=\frac{16}{5-3\cos\theta}$．
易知 $|TC|=\frac{40}{3}$，由$$\frac{|PA|}{|TC|}=\frac{|PM'|}{|TM'|}=1-\frac{|TP|}{|TM'|},$$结合 $|PA|=\frac{|FA|}{e}, |TP|=|FA|\sin\theta$，得$$|TM'|=\frac{16\sin\theta}{3(1+\cos\theta)}.$$同理，$|TN'|=\frac{16\sin\theta}{3(1-\cos\theta)}$．故$$|M'N'|=|M'T|+|TN'|=\frac{32}{3\sin\theta}\geqslant \frac{32}{3}.$$当 $AB\perp x$ 轴时，上式取到最小值．
由于$$\frac{|M'N'|}{|MN|}=\frac{|TC|}{10+5}=\frac{8}{9},$$故 $|MN|=\frac{12}{\sin\theta}$，且 $|MN|$ 的最小值为 $12$．
答案
解析
备注
