已知抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上的两点 $B$ 和 $C$ 分别在 $x$ 轴的上方和下方，且 $\triangle OBC$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形．设 $k$ 为直线 $OB$ 的斜率，试求 $k^3+2k$ 的值．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(22)
【标注】
【答案】
略
【解析】
易知直线 $OB$ 的方程为 $y=kx$（$k>0$），与抛物线方程 $y^2 = 2px$ 联立，解得 $ B $ 的坐 标为 $ \left(\frac{2p}{k^2},\frac{2p}{k}\right)$．
由 $ OB\perp BC $，知直线 $ BC $ 的斜率为 $ -\frac{1}{k} $．于是，直线 $ BC $ 的方程为$$ y-\frac{2p}{k}=-\frac{1}{k}\left(x-\frac{2p}{k^2}\right),$$即$$ y=-\frac{1}{k}x+\frac{2p+2pk^2}{k^3}.$$与抛物线方程 $ y^2=2px $ 联立，消去 $ y $，整理得$$ k^4x^2-2pk^2(k^2+1)x+4p^2(1+k^2)^2=0.$$解得 $ x=\frac{2p(k^2+1)^2}{k^2} $ 或 $ x=\frac{2p}{k^2} $（与 $ B $ 相同，舍去）．从而，$ C $ 的坐标为 $ \left(\frac{2p(k^2+1)^2}{k^2},-\frac{2p(k^2+1)}{k}\right)$．
注意到 $ |OC|^2 = 2|OB|^2$，故$$ \left(\frac{2p(k^2+1)}{k^2}\right)^2+\left(-\frac{2p(k^2+1)}{k}\right)^2=2\left(\left(\frac{2p}{k^2}\right)^2+\left(\frac{2p}{k}\right)^2\right),$$化简得$$(k^2+1)^3+k^2(k^2+1)=2\Rightarrow(k^3+2k)^2=1.$$因此，$ k^3+2k=1$．
由 $ OB\perp BC $，知直线 $ BC $ 的斜率为 $ -\frac{1}{k} $．于是，直线 $ BC $ 的方程为$$ y-\frac{2p}{k}=-\frac{1}{k}\left(x-\frac{2p}{k^2}\right),$$即$$ y=-\frac{1}{k}x+\frac{2p+2pk^2}{k^3}.$$与抛物线方程 $ y^2=2px $ 联立，消去 $ y $，整理得$$ k^4x^2-2pk^2(k^2+1)x+4p^2(1+k^2)^2=0.$$解得 $ x=\frac{2p(k^2+1)^2}{k^2} $ 或 $ x=\frac{2p}{k^2} $（与 $ B $ 相同，舍去）．从而，$ C $ 的坐标为 $ \left(\frac{2p(k^2+1)^2}{k^2},-\frac{2p(k^2+1)}{k}\right)$．
注意到 $ |OC|^2 = 2|OB|^2$，故$$ \left(\frac{2p(k^2+1)}{k^2}\right)^2+\left(-\frac{2p(k^2+1)}{k}\right)^2=2\left(\left(\frac{2p}{k^2}\right)^2+\left(\frac{2p}{k}\right)^2\right),$$化简得$$(k^2+1)^3+k^2(k^2+1)=2\Rightarrow(k^3+2k)^2=1.$$因此，$ k^3+2k=1$．
答案
解析
备注
