试求满足下述条件的所有实数对 $(x,y)$：$$\left\{\begin{aligned}
&x^2+y^2+x+y=xy(x+y)-\frac{10}{27},\\
&|xy|\leqslant \frac{25}{9}.\\
\end{aligned}\right.$$
&x^2+y^2+x+y=xy(x+y)-\frac{10}{27},\\
&|xy|\leqslant \frac{25}{9}.\\
\end{aligned}\right.$$
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(23)
【标注】
【答案】
略
【解析】
将条件两式分别标记为式 ①，②．
设 $t=x+y$，代入式 ①，得$$t^2-2xy+t=txy-\frac{10}{27}\Rightarrow xy=\frac{t^2+t+\frac{10}{27}}{t+2}.$$代入式 ②，即$$-\frac{25}{9}\leqslant \frac{t^2+t+\frac{10}{27}}{t+2}\leqslant \frac{25}{9},$$解得$$-\frac{14}{9}\leqslant t\leqslant \frac{10}{3}.$$又由不等式 $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}$，得$$\frac{t^2}{4}\geqslant \frac{t^2+t+\frac{10}{27}}{t+2}\Leftrightarrow \frac{(3t-10)(3t+2)^2}{t+2}\geqslant 0,$$解得$$t\in(-\infty,-2)\cup \left\{-\frac{2}{3}\right\}\cup [\frac{10}{3},+\infty).$$综上可知，$t=-\frac{2}{3}$ 或 $\frac{10}{3}$．两种情形下均有 $x=y$，故满足条件的 $(x,y)$ 有两组，即$$\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right),\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)$$
设 $t=x+y$，代入式 ①，得$$t^2-2xy+t=txy-\frac{10}{27}\Rightarrow xy=\frac{t^2+t+\frac{10}{27}}{t+2}.$$代入式 ②，即$$-\frac{25}{9}\leqslant \frac{t^2+t+\frac{10}{27}}{t+2}\leqslant \frac{25}{9},$$解得$$-\frac{14}{9}\leqslant t\leqslant \frac{10}{3}.$$又由不等式 $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}$，得$$\frac{t^2}{4}\geqslant \frac{t^2+t+\frac{10}{27}}{t+2}\Leftrightarrow \frac{(3t-10)(3t+2)^2}{t+2}\geqslant 0,$$解得$$t\in(-\infty,-2)\cup \left\{-\frac{2}{3}\right\}\cup [\frac{10}{3},+\infty).$$综上可知，$t=-\frac{2}{3}$ 或 $\frac{10}{3}$．两种情形下均有 $x=y$，故满足条件的 $(x,y)$ 有两组，即$$\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right),\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)$$
答案
解析
备注
