证明：存在非周期函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，满足对任意 $x\in\mathbb{R}$，都有$$f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{5}f(x).$$
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑指数函数 $f(x)=a^x$（$a>0$），若该函数满足条件，则 $a+a^{-1}=\sqrt{5}$，解得
$a=\frac{\sqrt{5}\pm 1}{2}$．容易验证，如下两个函数$$f_1(x)=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^x,f_2(x)=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^x$$都满足条件．
$a=\frac{\sqrt{5}\pm 1}{2}$．容易验证，如下两个函数$$f_1(x)=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^x,f_2(x)=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^x$$都满足条件．
答案
解析
备注
