已知 $a,b,c$ 为实常数，数列 $\{x_n\}$ 的通项 $x_n=an^2+bn+c,n\in\mathbb N^*$，则“存在 $k\in\mathbb N^*$，使得 $x_{100+k},x_{200+k},x_{300+k}$ 成等差数列”的一个必要条件是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年高考上海卷
【标注】
【答案】
A
【解析】
【法一】 题意即数列 $\{x_n\}$ 对应的图象上存在横坐标为$$k+100,k+200,k+300,$$的三个点共线，结合二次函数与一次函数的性质，可知需 $a=0$，因此其一个必要条件为 $a\geqslant0$．
【法二】 对题中条件进行等价变形，得$$\exists k\in\mathbb N^* , x_{100+k}+x_{300+k}=2x_{200+k},$$代入通项公式，得$$\left[a(100+k)^2+b(100+k)+c\right]+\left[a(300+k)^2+b(300+k)+c\right]=2\left[a(200+k)^2+b(200+k)+c\right],$$整理得 $a=0$，因此其一个必要条件为 $a\geqslant0$．
【法二】 对题中条件进行等价变形，得$$\exists k\in\mathbb N^* , x_{100+k}+x_{300+k}=2x_{200+k},$$代入通项公式，得$$\left[a(100+k)^2+b(100+k)+c\right]+\left[a(300+k)^2+b(300+k)+c\right]=2\left[a(200+k)^2+b(200+k)+c\right],$$整理得 $a=0$，因此其一个必要条件为 $a\geqslant0$．
题目
答案
解析
备注
