如图，点列 $\{A_n\},\{B_n\}$ 分别在某锐角的两边上，且$$|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|,A_n\neq A_{n+2},n\in\mathbb N^*,$$$$|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|,B_n\neq B_{n+2},n\in\mathbb N^*,$$其中 $P\neq Q$ 表示 $P$ 与 $Q$ 不重合．若 $d_n=|A_nB_n|$，$S_n$ 为 $\triangle A_nB_nB_{n+1}$ 的面积，则 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题需要根据题意分别表示出 $\left\{S_n\right\}$、$\left\{S_n^2\right\}$、$\left\{d_n\right\}$、$\left\{d_n^2\right\}$，然后利用等差数列的定义逐个判断．${{S}_{n}}$ 表示点 ${{A}_{n}}$ 到对面直线的距离（设为 ${{h}_{n}}$）乘以 $\left| {{B}_{n}}{{B}_{n+1}} \right|$ 长度一半，即\[{{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}{{h}_{n}}\left| {{B}_{n}}{{B}_{n+1}} \right|.\]由题目中条件可知 $\left| {{B}_{n}}{{B}_{n+1}} \right|$ 的长度为定值，那么需要知道 ${{h}_{n}}$ 的关系式，过 ${{A}_{1}}$ 作垂直得到初始距离 ${{h}_{1}}$，则 ${{A}_{1}},{{A}_{n}}$ 和两个垂足构成了直角梯形，于是\[{{h}_{n}}={{h}_{1}}+\left| {{A}_{1}}A{}_{n} \right|\cdot \sin \theta ,\]其中 $\theta $ 为两条线的夹角，即为定值，因此有\[{{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}\left({{h}_{1}}+\left| {{A}_{1}}A{}_{n} \right|\cdot \sin \theta \right)\left| {{B}_{n}}{{B}_{n+1}} \right|,\]\[{{S}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left(\left| {{h}_{1}}+{{A}_{1}}A{}_{n+1} \right|\cdot \sin \theta \right)\left| {{B}_{n}}{{B}_{n+1}} \right|,\]作差后：\[{{S}_{n+1}}-{{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}\left(\left| {{A}_{n}}A{}_{n+1} \right|\cdot \sin \theta \right)\left| {{B}_{n}}{{B}_{n+1}} \right|,\]为定值，所以 ${{S}_{n+1}}-{{S}_{n}}$ 为定值．故选A．
题目
答案
解析
备注
