设函数 $f\left(x\right) = a{{\mathrm {e}}^x}\ln x + \dfrac{{b{{\mathrm {e}}^{x - 1}}}}{x}$，曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left({1,f\left(1\right)}\right)$ 处的切线方程为 $y ={\mathrm {e}}\left(x - 1\right) + 2$．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（理）
【标注】
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求 $a,b$；标注答案$a=1$，$b=2$解析函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，其导函数$$f'(x)=a\mathrm{e}^x\ln x+\dfrac{a\mathrm{e}^x}{x}-\dfrac{b}{x^2}\mathrm{e}^{x-1}+\dfrac{b}{x}\mathrm{e}^{x-1}.$$由题意知 $f(1)=2$，$f'(1)=\mathrm{e}$，代入解得 $a=1$，$b=2$．
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证明：$f\left(x\right) > 1$．标注答案略解析由第 $(1)$ 小题的结论可得 $f(x)=\mathrm{e}^x\ln x+\dfrac{2}{x}\mathrm{e}^{x-1}$．从而 $f(x)>1$ 等价于$$x\ln x-x\mathrm{e}^{-x}>-\dfrac{2}{\mathrm e}.$$设函数 $g(x)=x\ln x$，则 $g(\mathrm{e}^{-x})=-x\mathrm{e}^{-x}$，所以欲证不等式即$$g(x)+g(\mathrm{e}^{-x})>-\dfrac{2}{\mathrm{e}},$$接下来研究函数 $g(x)$ 的最小值．
由于 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=1+\ln x,$$当 $0<x<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$g'(x)<0$；当 $x>\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$g'(x)>0$．故 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 上单调递增．从而 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值为 $g\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\dfrac{1}{\mathrm e}$．
回到原问题，我们有$$g(x)+g(\mathrm{e}^{-x})\geqslant-\dfrac{2}{\mathrm e},$$当 $x=\dfrac{1}{{\rm e}}$ 时，${\rm e}^{-x}\neq \dfrac{1}{{\rm e}}$，于是等号无法取得，这样我们就证明了不等式 $f(x)>1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
