在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且满足 $b^2-a^2=ac$，求 $\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$
【解析】
由正弦定理，得$$\sin ^2B-\sin ^2A=\sin A\cdot \sin C,$$即$$\sin (B+A)\cdot \sin (B-A)=\sin A\cdot \sin C,$$从而$$\sin (B-A)=\sin A,$$因此 $B=2A$．结合锐角三角形的条件，有 $\dfrac{\pi}3<B<\dfrac{\pi}2$．
另一方面，有$$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\sin B\cos A-\cos B\sin A}{\sin A\sin B}=\dfrac{\sin (B-A)}{\sin A\sin B}=\dfrac{1}{\sin B},$$于是 $\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$．
另一方面，有$$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\sin B\cos A-\cos B\sin A}{\sin A\sin B}=\dfrac{\sin (B-A)}{\sin A\sin B}=\dfrac{1}{\sin B},$$于是 $\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$．
答案
解析
备注
