化简 $\sin7.5^\circ+\cos7.5^\circ$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{4+\sqrt6-\sqrt2}}{2}$
【解析】
因为$$\sin15^\circ=\sqrt{\dfrac{1-\cos30^\circ}{2}}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4},$$所以$$\begin{split}(\sin7.5^\circ+\cos7.5^\circ)^2&=1+2\sin7.5^\circ\cos7.5^\circ\\ &=1+\sin15^\circ\\ &=\dfrac{4+\sqrt6-\sqrt2}{4},\end{split}$$又因为 $\sin7.5^\circ+\cos7.5^\circ>0$，所以$$\sin7.5^\circ+\cos7.5^\circ=\dfrac{\sqrt{4+\sqrt6-\sqrt2}}{2}.$$
答案
解析
备注
