已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$（$n\in\mathbb N^*$），求证：$a_{n+1}^{\frac 1n}\geqslant 1+a_n^{-\frac 1n}$（$n\in\mathbb N^*$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a_0=1$，则在 $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}+\dfrac{a_n}{a_{n+2}}=1$ 中，分别令 $n=1,2,\cdots $ 累加可得$$\left(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots +\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right)+\left(\dfrac{a_0}{a_2}+\dfrac{a_1}{a_3}+\cdots +\dfrac{a_{n-1}}{a_{n+1}}\right)=n,$$对两个括号分别应用均值不等式，可得$$n\geqslant n\cdot \left(\dfrac{a_1}{a_2}\cdot \dfrac{a_2}{a_3}\cdots\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right)^{\frac 1n}+n\cdot \left(\dfrac{a_0}{a_2}\cdot \dfrac{a_1}{a_3}\cdots \dfrac{a_{n-1}}{a_{n+1}}\right)^{\frac 1n}=n\cdot a_{n+1}^{-\frac 1n}+n\cdot a_n^{-\frac 1n}\cdot a_{n+1}^{-\frac 1n},$$整理即得．
答案
解析
备注
