已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，$D,E$ 分别是边 $AB,AC$ 上的点，$F$ 为线段 $DE$ 上的一点，设 $AD:AB=x, AE:AC=y, DF:DE=z$ 且 $y+z-x=1$．求 $\triangle BDF$ 的面积的最大值并求出此时 $x,y,z$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年北京大学全国优秀中学生暑期夏令营试题
【标注】
【答案】
当 $x=\dfrac 13,y=z=\dfrac 23$ 时，$\triangle BDF$ 的面积有最大值 $\dfrac {8}{27}$
【解析】
如图，连接 $BE$．
由三角形的面积公式 $S=\dfrac 12ab\sin C$ 可以得到$$S_{\triangle ADE}=xyS_{\triangle ABC}=xy,S_{\triangle BCE}=(1-y)S_{\triangle ABC}=1-y,$$所以有$$S_{\triangle BDE}=1-xy-(1-y)=y(1-x).$$从而有$$S_{\triangle BDF}=zS_{\triangle BDE}=zy(1-x)\leqslant \left(\dfrac {z+y+1-x}{3}\right )^3=\dfrac {8}{27}.$$当 $y=z=1-x$ 时，即 $x=\dfrac 13,y=z=\dfrac 23$ 时等号成立，此时 $\triangle BDF$ 的面积有最大值 $\dfrac {8}{27}$．
由三角形的面积公式 $S=\dfrac 12ab\sin C$ 可以得到$$S_{\triangle ADE}=xyS_{\triangle ABC}=xy,S_{\triangle BCE}=(1-y)S_{\triangle ABC}=1-y,$$所以有$$S_{\triangle BDE}=1-xy-(1-y)=y(1-x).$$从而有$$S_{\triangle BDF}=zS_{\triangle BDE}=zy(1-x)\leqslant \left(\dfrac {z+y+1-x}{3}\right )^3=\dfrac {8}{27}.$$当 $y=z=1-x$ 时，即 $x=\dfrac 13,y=z=\dfrac 23$ 时等号成立，此时 $\triangle BDF$ 的面积有最大值 $\dfrac {8}{27}$．
答案
解析
备注
