已知 $A,B,C\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)$，且 $\sin^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2C=1$，求 $A+B+C$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2013年清华大学数学夏令营试题（回忆版）
【标注】
【答案】
$3\arcsin{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$
【解析】
固定 $C$，设 $0<\sin^2{A}+\sin^2{B}=t<1$，由于\[\begin{split}
\sin^2{A}+\sin^2{B}&=\left(\sin{A}+\sin{B}\right)^2-2\sin{A}\sin{B}\\
&=4\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos^2{\dfrac{A-B}{2}}+\cos{\left(A+B\right)}-\cos{\left(A-B\right)}\\
&=4\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos^2{\dfrac{A-B}{2}}+1-2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}-\cos{\left(A-B\right)}\\
&=2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos{\left(A-B\right)}-\cos{\left(A-B\right)}+1\\
&=t,
\end{split}\]故$$2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}=\dfrac{t-1}{\cos{\left(A-B\right)}}+1,$$所以" $A+B$ 取得最大值"等价于" $\cos{\left(A-B\right)}$ 取得最大值"，由此可知 $A=B$．此时$$A+B+C=2\arcsin{\sqrt{\dfrac{t}{2}}}+\arcsin{\sqrt{1-t}}.$$令$$f(t)=2\arcsin{\sqrt{\dfrac{t}{2}}}+\arcsin{\sqrt{1-t}},$$则$$f'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2t-t^2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{t-t^2}},$$易知当且仅当 $t=\dfrac{2}{3}$ 时，$f(t)$ 取得最大值 $3\arcsin{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$．
综上所述，$A+B+C$ 的最大值为 $3\arcsin{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$．
\sin^2{A}+\sin^2{B}&=\left(\sin{A}+\sin{B}\right)^2-2\sin{A}\sin{B}\\
&=4\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos^2{\dfrac{A-B}{2}}+\cos{\left(A+B\right)}-\cos{\left(A-B\right)}\\
&=4\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos^2{\dfrac{A-B}{2}}+1-2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}-\cos{\left(A-B\right)}\\
&=2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}\cos{\left(A-B\right)}-\cos{\left(A-B\right)}+1\\
&=t,
\end{split}\]故$$2\sin^2{\dfrac{A+B}{2}}=\dfrac{t-1}{\cos{\left(A-B\right)}}+1,$$所以" $A+B$ 取得最大值"等价于" $\cos{\left(A-B\right)}$ 取得最大值"，由此可知 $A=B$．此时$$A+B+C=2\arcsin{\sqrt{\dfrac{t}{2}}}+\arcsin{\sqrt{1-t}}.$$令$$f(t)=2\arcsin{\sqrt{\dfrac{t}{2}}}+\arcsin{\sqrt{1-t}},$$则$$f'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2t-t^2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{t-t^2}},$$易知当且仅当 $t=\dfrac{2}{3}$ 时，$f(t)$ 取得最大值 $3\arcsin{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$．
综上所述，$A+B+C$ 的最大值为 $3\arcsin{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$．
答案
解析
备注
