一个四边形的三边分别为 $2,7,11$，求该四边形面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$30\sqrt 3$
【解析】
设第四条边的长度为 $2x$，我们熟知四边长固定的四边形为圆内接四边形时面积最大，因此根据海伦公式，此时四边形面积的最大值$$S(x)=\sqrt{(x+8)(x+3)(x-1)(10-x)},$$也即$$S(x)=\sqrt{-x^4+87x^2+154x-240}.$$设 $\varphi(x)=-x^4+87x^2+154x-240$，其中 $x\in (1,10)$，则其导函数$$\varphi'(x)=-4x^3+174x+154=-2(x-7)\left(2x^2+14x+11\right),$$于是当 $x=7$ 时该函数取得最大值 $\varphi(7)=2700$，进而可得所求四边形面积的最大值为 $30\sqrt 3$．
答案
解析
备注
