已知 $a,b\in [0,+\infty)$，求证：$[5a]+[5b]\geqslant [3a+b]+[a+3b]$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
事实上，可以证明一个更强的命题$$[5a]+[5b]\geqslant [3a+b]+[a+3b]+[a]+[b].$$设 $a=[a]+x$，$b=[b]+y$，则上述不等式等价于$$\left[5[a]+5x\right]+\left[5[b]+5y\right]\geqslant \left[3[a]+[b]+3x+y\right]+\left[[a]+3[b]+x+3y\right]+[a]+[b],$$即$$[5x]+[5y]\geqslant [3x+y]+[x+3y],$$其中 $x,y\in [0,1)$．不妨设 $x\leqslant y$，若 $y\leqslant 2x$，则有$$[5x]\geqslant [3x+y],[5y]\geqslant [x+3y],$$命题成立，于是只需要证明 $y>2x$ 的情形．此时$$0\leqslant [3x+y]-[5x]\leqslant [3x+1]-[3x]=1.$$接下来用反证法．若$$[3x+y]-[5x]>[5y]-[x+3y],$$则 $[3x+y]-[5x]=1$ 且 $[5y]-[x+3y]=0$，利用线性规划可知不存在符合题意的 $(x,y)$，矛盾．
综上所述，原命题得证．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
