$a,b,c$ 是三个不同的正整数，$abc=11\cdot 21 \cdot 31 \cdot 41\cdot 51\cdot 61$．求所有满足要求的集合 $\{ a,b,c \}$ 的个数．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$728$
【解析】
由题意，$abc=11\cdot 3 \cdot 7 \cdot 31 \cdot 41\cdot 3 \cdot 17 \cdot 61$．先考虑 $11,7,31,41,17,61$ 这 $6$ 个素数，它们"分配"给 $a,b,c$ 的方式种数位$$3^6=729.$$接下来考虑两个 $3$，它们"分配"给 $a,b,c$ 的方式共有 $\mathrm C _4^2=6$ 种．导致 $a,b,c$ 三个数中有相同数的方法共有 $2\mathrm C _3^2=6$（有两个数等于 $1$ 或有两个数等于 $3$）种．考虑到集合元素的互异性和无序性，所有满足要求的集合 $\{ a,b,c \}$ 的个数应为$$\dfrac{3^6\cdot \mathrm C _4^2-2\mathrm C _3^2}{\mathrm A_3^3}=728 .$$
答案
解析
备注
