Beatrix在一个 $6\times6$ 的棋盘上放了 $6$ 枚棋子，任意两枚棋子既不在同一行也不在同一列．定义某一枚棋子的分值为其所在位置的行数与列数之和，定义 $6$ 枚棋子的总分值为这 $6$ 枚棋子分值的最小值．将所有排列中 $6$ 枚棋子的总分值的平均数记为 $\dfrac{p}{q}$，其中 $p,q$ 为互质的正整数．求 $p+q$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$371 $
【解析】
将 $6$ 枚棋子的总分值记为随机变量 $X$．
① $X\geqslant 2$ 的情况有 $6!=720$ 种．
② $X\geqslant 3$ 的情况有 $5\cdot 5!=600$ 种．
③ $X\geqslant 4$ 的情况有 $4^2\cdot 4!=384$ 种．
④ $X\geqslant 5$ 的情况有 $3^3\cdot 3!=162$ 种．
⑤ $X\geqslant 6$ 的情况有 $2^4\cdot 2!=32$ 种．
⑥ $X=7$ 的情况有 $1$ 种．
综上所述，所有排列中 $6$ 枚棋子的总分值的平均数为$$E(X)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}P(X\geqslant k)=\dfrac{720+720+600+384+162+32+1}{6!}=\dfrac{291}{80}. $$
① $X\geqslant 2$ 的情况有 $6!=720$ 种．
② $X\geqslant 3$ 的情况有 $5\cdot 5!=600$ 种．
③ $X\geqslant 4$ 的情况有 $4^2\cdot 4!=384$ 种．
④ $X\geqslant 5$ 的情况有 $3^3\cdot 3!=162$ 种．
⑤ $X\geqslant 6$ 的情况有 $2^4\cdot 2!=32$ 种．
⑥ $X=7$ 的情况有 $1$ 种．
综上所述，所有排列中 $6$ 枚棋子的总分值的平均数为$$E(X)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}P(X\geqslant k)=\dfrac{720+720+600+384+162+32+1}{6!}=\dfrac{291}{80}. $$
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