已知 $\sin x+\sin y+\sin z=\cos x+\cos y+\cos z=0$，求证：$\tan(x+y+z)+\tan x\tan y\tan z=0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
在坐标平面 $xOy$ 中，设 $A(\cos x,\sin x)$，$B(\cos y,\sin y)$，$C(\cos z,\sin z)$，则 $\triangle ABC$ 的外心和重心均为 $O$．因此 $\triangle ABC$ 为正三角形，不妨设 $y=x+\dfrac{2\pi}3$，$z=x+\dfrac{4\pi}3$，则\[\begin{split}\tan (x+y+z)+\tan x\tan y\tan z &= \tan (3x+2\pi) +\tan x\tan \left(x+\dfrac{2\pi}3\right)\tan \left(x+\dfrac{4\pi}3\right) \\ &= \tan 3x -\tan x\tan \left(\dfrac{\pi}3-x\right)\left(\dfrac{\pi}3+x\right) \\ &= 0,\end{split}\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
