已知集合 $M=\{1,2,\cdots ,99\}$，现随机选取 $M$ 中的 $9$ 个元素，设 $x$ 为这 $9$ 个元素的中的最小数，求 $x$ 的数学期望．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
根据题意，有\begin{eqnarray*}\begin{split} E(x)&=\dfrac{1\cdot{\rm C}_{98}^8+2\cdot {\rm C}_{97}^8+3\cdot {\rm C}_{96}^8+\cdots +91\cdot {\rm C}_{8}^8}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=\dfrac{{\rm C}_{99}^9+1\cdot {\rm C}_{97}^8+2\cdot {\rm C}_{96}^8+\cdots +90\cdot {\rm C}_8^8}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=\dfrac{{\rm C}_{99}^9+{\rm C}_{98}^9+1\cdot {\rm C}_{96}^8+\cdots +89\cdot{\rm C}_{8}^8}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=\cdots \\
&=\dfrac{{\rm C}_{99}^9+{\rm C}_{98}^9+{\rm C}_{97}^9+\cdots +{\rm C}_{9}^9}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=\dfrac{{\rm C}_{100}^{10}}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=10
.\end{split} \end{eqnarray*}
&=\dfrac{{\rm C}_{99}^9+1\cdot {\rm C}_{97}^8+2\cdot {\rm C}_{96}^8+\cdots +90\cdot {\rm C}_8^8}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=\dfrac{{\rm C}_{99}^9+{\rm C}_{98}^9+1\cdot {\rm C}_{96}^8+\cdots +89\cdot{\rm C}_{8}^8}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=\cdots \\
&=\dfrac{{\rm C}_{99}^9+{\rm C}_{98}^9+{\rm C}_{97}^9+\cdots +{\rm C}_{9}^9}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=\dfrac{{\rm C}_{100}^{10}}{{\rm C}_{99}^9}\\
&=10
.\end{split} \end{eqnarray*}
答案
解析
备注
