设正数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的和为 $S$，求证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{S-a_i}\geqslant \dfrac{n}{n-1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $b_i=\dfrac{a_i}S$（$i=1,2,\cdots ,n$），则$$b_1+b_2+\cdots +b_n=1,$$且$$LHS=\sum_{i=1}^n\dfrac{b_i}{1-b_i},$$考虑到函数 $f(x)=\dfrac{x}{1-x}$ 为下凸函数，于是$$\sum_{i=1}^n\dfrac{b_i}{1-b_i}\geqslant nf\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{n}{n-1},$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
