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函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1)$，且$$f(x)=\begin{cases} x,&x\notin \mathbb Q,\\ \dfrac{p+1}q,&x=\dfrac pq,p,q\in\mathbb N^*,(p,q)=1.\end{cases}$$求 $f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{k-1}k,\dfrac{k}{k+1}\right)$ 上的最大值，其中 $k\in\mathbb N^*$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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【答案】
$\dfrac{2k}{2k+1}$
【解析】
情形一当 $x$ 是无理数时，$f(x)<\dfrac{k}{k+1}$．
情形二当 $x$ 是有理数时，设 $x=\dfrac pq$，$\dfrac {k-1}{k}<\dfrac pq<\dfrac{k}{k+1}$，所以$$pk-q(k-1)>0,qk-p(k+1)>0,$$即$$pk-q(k-1)\geqslant 1,qk-p(k+1)\geqslant 1,$$两式相加，可得 $p\leqslant q-2$．
设 $p=q-i,i\geqslant 2$，则由 $\dfrac {k-1}{k}<\dfrac{q-i}{q}<\dfrac{k}{k+1}$ 得 $ki<q<(k+1)i$，而 $q$ 越大时，$f\left(\dfrac{q-i}{q}\right)=\dfrac{q-i+1}{q}$ 越大，所以取 $q=(k+1)i-1$，从而有$$f\left(\dfrac {q-i}{q}\right)=\dfrac {ki}{(k+1)i-1}=\dfrac {k}{k+1}+\dfrac {\dfrac{k}{k+1}}{(k+1)i-1},$$在上式中，$i$ 越小，$f\left(\dfrac {q-i}{q}\right)$ 越大，所以当 $i=2$ 时，有 $f(x)$ 有最大值 $\dfrac {2k}{2k+1}$，此时 $p=2k-1$，$q=2k+1$．
综上所述，由于当 $k\geqslant 1$ 时，$\dfrac{2k}{2k+1}>\dfrac{k}{k+1}$，因此所求的最大值为 $\dfrac{2k}{2k+1}$，此时 $x=\dfrac{2k-1}{2k+1}$．
答案 解析 备注
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