题目 设函数 $f(x)=\left(2x^2-4ax\right)\ln x+x^2$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 当 $a\leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $\left (0,\dfrac{1}{\mathrm e}\right )$ 上单调递减，在 $\left (\dfrac{1}{\mathrm e} ,+\infty \right )$ 上单调递增；<br/>当 $0<a<\dfrac{1}{\mathrm e}$ 时，$f(x)$ 在 $(0,a)$ 和 $\left (\dfrac{1}{\mathrm e} ,+\infty \right )$ 上单调递增，在 $\left (a,\dfrac{1}{\mathrm e} \right) $ 上单调递减；<br/>当 $a=\dfrac{1}{\mathrm e}$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；<br/>当 $a>\dfrac{1}{\mathrm e}$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\mathrm e}\right)$ 和 $(a,+\infty )$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{\mathrm e},a \right)$ 上单调递减 解析1 $f'(x)=4(x-a)(1+\ln x)$．<br/><case>情形一</case>当 $a\leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $\left (0,\dfrac{1}{\mathrm e}\right )$ 上单调递减，在 $\left (\dfrac{1}{\mathrm e} ,+\infty \right )$ 上单调递增；<br/><case>情形二</case>当 $0<a<\dfrac{1}{\mathrm e}$ 时，$f(x)$ 在 $(0,a)$ 和 $\left (\dfrac{1}{\mathrm e} ,+\infty \right )$ 上单调递增，在 $\left (a,\dfrac{1}{\mathrm e} \right) $ 上单调递减；<br/><case>情形三</case>当 $a=\dfrac{1}{\mathrm e}$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；<br/><case>情形四</case>当 $a>\dfrac{1}{\mathrm e}$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\mathrm e}\right)$ 和 $(a,+\infty )$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{\mathrm e},a \right)$ 上单调递减． 备注1 问题2 若不等式 $f(x)>0$ 对 $x\geqslant 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left ( -\infty ,\sqrt{\mathrm e}\right ) $ 解析2 由 $(1)$ 可知，当 $a\leqslant 1$ 时，$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，故只需满足 $f(1)>0$ 即可，而此时 $f(1)=1>0$ 恒成立，所以 $a\leqslant 1$ 满足题意．<br/>当 $a>1$ 时，只需满足$$f(a)=a^2(1-2\ln a)>0,$$即可，解得$$1<a<\sqrt{\mathrm e} .$$综上所述，若不等式 $f(x)>0$ 对 $\forall x \in [1,+\infty)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 $\left ( -\infty ,\sqrt{\mathrm e}\right ) $． 备注2