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已知 $D$ 为三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上的一点，$BD:DC=1:2$，$AB:AD:AC=3:k:1$，求 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学科目试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    平面向量
    >
    平面向量
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
【答案】
$\left(\dfrac 53,\dfrac 73\right)$
【解析】
利用平面向量因为 $\overrightarrow{AD}=\dfrac 23\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}$，所以$$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac 49\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac 19\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}+\dfrac 49\cdot\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC},$$从而有$$k^2=4+\dfrac 19+\dfrac 43\cos\angle BAC=\dfrac {37}9+\dfrac 43\cos\angle BAC\in\left(\dfrac {25}9,\dfrac {49}9\right),$$从而有 $k\in\left(\dfrac 53,\dfrac 73\right)$．
利用余弦定理和三角形三边关系不妨设 $AB=3$，则 $AD=k$，$AC=1$，设 $BD=m$，则 $CD=2m$．分别在 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 内用余弦定理得$$\cos\angle ADB=\dfrac {m^2+k^2-9}{2mk}=-\cos\angle ADC=-\dfrac {k^2+4m^2-1}{4km},$$化简得 $6m^2+3k^2=19$．再考虑构成三角形的条件有 $3-1<3m<3+1$，即 $m\in\left(\dfrac 23,\dfrac 43\right)$，所以$$k^2=\dfrac 13(19-6m^2)\in\left(\dfrac {25}9,\dfrac {49}9\right),$$得到 $k\in\left(\dfrac 53,\dfrac 73\right)$．
答案 解析 备注
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