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已知 $\triangle ABC$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，点 $D,E$ 分别是边 $AB$，$BC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长到点 $F$，使得 $DE=2EF$，则 $\overrightarrow {AF}\cdot \overrightarrow {BC}$ 的值为 \((\qquad)\)
A: $-\dfrac 58$
B: $\dfrac 18$
C: $\dfrac 14$
D: $\dfrac {11}8$
【难度】
【出处】
2016年高考天津卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的线性运算
  • 题型
    >
    向量
【答案】
B
【解析】
先选用等边三角形 ${ABC}$ 的一组邻边为基底，来表示平面内的向量，然后根据数量积的定义求解即可．可以选择向量 $\overrightarrow {BA } $ 和 $ \overrightarrow {BC} $ 为基底求解．根据题意，可得\[\overrightarrow {AF }=\dfrac {3}{4} \overrightarrow {BC }-\dfrac {5}{4}\overrightarrow {BA }, \]所以\[\begin{split}\overrightarrow {AF } \cdot \overrightarrow {BC}&=\left(\dfrac {3}{4} \overrightarrow {BC }-\dfrac {5}{4}\overrightarrow {BA }\right)\cdot \overrightarrow {BC}\\&=\dfrac {3}{4} \overrightarrow {BC }\cdot \overrightarrow {BC}-\dfrac {5}{4}\overrightarrow {BA }\cdot \overrightarrow {BC}\\&=\dfrac 34-\dfrac 54\times \dfrac 12=\dfrac 18.\end {split}\]即 $\overrightarrow {AF } \cdot \overrightarrow {BC}$ 的值为 $\dfrac 18$．
题目 答案 解析 备注
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