题目 设 $\alpha\in\mathbb {R}$，函数 $f(x)=\sqrt 2\sin{2x}\cos{\alpha}+\sqrt 2\cos{2x}\sin{\alpha}-\sqrt 2\cos\left(2x+\alpha\right)+\cos\alpha,x\in\mathbb {R}$． 问题1 若 $\alpha\in\left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right]$，求 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}4\right]$ 上的最大值； 答案1 $2+\cos\alpha$ 解析1 对 $f(x)$ 进行化简得$$\begin{split} f(x)=&\sqrt 2\sin(2x+\alpha)-\sqrt 2\cos(2x+\alpha)+\cos\alpha\\=&2\sin\left(2x+\alpha-\dfrac {\pi}4\right)+\cos\alpha.\end{split}$$当 $x\in\left[0,\dfrac {\pi}4\right]$ 时，$$2x+\alpha-\dfrac {\pi}4\in\left[\alpha-\dfrac {\pi}4,\alpha+\dfrac {\pi}4\right],$$因为 $\dfrac {\pi}2\in\left[\alpha-\dfrac {\pi}4,\alpha+\dfrac {\pi}4\right]$，所以 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac {\pi}4\right]$ 上有最大值为 $2+\cos\alpha$． 备注1 问题2 若 $f(x)=3$，求 $\alpha$ 与 $x$ 的值． 答案2 $\alpha=2k\pi,k\in\mathbb {Z}$；$x=n\pi+\dfrac{3\pi}{8},n\in\mathbb {Z}$ 解析2 由 $(1)$ 知$$f(x)\leqslant 2+\cos\alpha\leqslant 3,$$所以 $\cos\alpha=1$，从而 $\alpha=2k\pi,k\in\mathbb{Z}$，于是有 $2x-\dfrac {\pi}4=2n\pi+\dfrac {\pi}2$，解得 $x=\dfrac 38\pi+n\pi,n\in\mathbb{Z}$． 备注2