在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=3$，$a_{n+1}a_n+\lambda a_{n+1}+\mu a_n^2=0\left(n\in {\mathbb{N}}^*\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $\lambda=0$，$\mu=-2$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=3\cdot 2^{n-1},n\in{\mathbb N^*}$解析根据已知，有 $a_{n+1}a_n=2a_n^2$，由 $a_1=3$ 不难推得$$\forall n\in{\mathbb N^*},a_n\neq 0,$$于是 $a_{n+1}=2a_n,n\in{\mathbb N^*}$，进而$$a_n=3\cdot 2^{n-1},n\in{\mathbb N^*}.$$
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若 $\lambda=\dfrac{1}{k_0}\left(k_0\in {\mathbb{N}}^*,k_0\geqslant 2\right)$，$\mu=-1$，证明：$2+\dfrac{1}{3k_0+1}<a_{k_0+1}<2+\dfrac{1}{2k_0+1}$．标注答案略解析根据条件，有 $a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{a_n+\lambda}$，于是$$a_{n+1}-a_n=\dfrac{-\lambda a_n}{a_n+\lambda}<0,$$于是 $\{a_n\}$ 单调递减，进而可得$$0<a_n\leqslant a_1=3,$$由 $a_{n+1}-a_n=-\dfrac{\lambda a_n}{a_n+\lambda}$，又等式右边关于 $a_n$ 单调递减，因此 $a_2-a_1=-\dfrac{3\lambda}{3+\lambda}$，且$$-\dfrac{3\lambda}{3+\lambda}<a_{n+1}-a_n<0,n=2,3\cdots $$累加得$$-\dfrac{3n\lambda}{3+\lambda}<a_{n+1}-3<0,n\geqslant 2$$即$$3-\dfrac{3n\lambda}{3+\lambda}<a_{n+1}<3,n\geqslant 2.$$将 $\lambda =\dfrac{1}{k_0}$，$n=k_0$ 代入即得$$2+\dfrac{1}{3k_0+1}<a_{k_0+1}<3.$$利用上面得到的界（当 $2\leqslant n \leqslant k_0+1$ 时，$2<a_n<3$）重新估计，有$$a_{n+1}-a_n<-\dfrac{2k_0^{-1}}{2+k_0^{-1}},n=1,2,\cdots k_0,$$累加得$$a_{k_0+1}-3<-\dfrac{2}{2+k_0^{-1}},$$即$$a_{k_0+1}<2+\dfrac{1}{2k_0+1}.$$综上，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
