题目 袋中装有 $7$ 个红球和 $8$ 个黑球，一次取出 $4$ 个球． 问题1 求取出的球中恰好只有 $1$ 个红球的概率； 答案1 $\dfrac{{56}}{{195}}$ 解析1 取出的球中恰好只有 $1$ 个红球的概率为 $\dfrac{{\mathrm{C}_7^1\mathrm{C}_8^3}}{{\mathrm{C}_{15}^4}}=\dfrac{{56}}{{195}}$． 备注1 问题2 取出的球中黑球的个数记为 $X$，求 $X$ 的分布列及 $E(X)$； 答案2 $X$ 的分布列为$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3&4\\ \hline P&\dfrac{1}{{39}}&\dfrac{8}{{39}}&\dfrac{{28}}{{65}}&\dfrac{{56}}{{195}}&\dfrac{2}{{39}}\\ \hline\end{array}$$$E\left( X \right) = \dfrac{{416}}{{195}}$ 解析2 $X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4$，对应概率为\[\begin{split}&P\left( {X = 0} \right) = \dfrac{{\mathrm{C}_7^4}}{{\mathrm{C}_{15}^4}} = \dfrac{1}{{39}},\\&P\left( {X = 1} \right) = \dfrac{{\mathrm{C}_7^3\mathrm{C}_8^1}}{{\mathrm{C}_{15}^4}} = \dfrac{8}{{39}},\\&P\left( {X = 2} \right) = \dfrac{{\mathrm{C}_7^2\mathrm{C}_8^2}}{{\mathrm{C}_{15}^4}} = \dfrac{{28}}{{65}},\\&P\left( {X = 3} \right) = \dfrac{{\mathrm{C}_7^1\mathrm{C}_8^3}}{{\mathrm{C}_{15}^4}} = \dfrac{{56}}{{195}},\\&P\left( {X = 4} \right) = \dfrac{{\mathrm{C}_8^4}}{{\mathrm{C}_{15}^4}} = \dfrac{2}{{39}}.\end{split}\]其分布列为$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3&4\\ \hline P&\dfrac{1}{{39}}&\dfrac{8}{{39}}&\dfrac{{28}}{{65}}&\dfrac{{56}}{{195}}&\dfrac{2}{{39}}\\ \hline\end{array}$$所以，$X$ 的数学期望$$E\left( X \right) = 0 \times \dfrac{1}{{39}} + 1 \times \dfrac{8}{{39}} + 2 \times \dfrac{{28}}{{65}} + 3 \times \dfrac{{56}}{{195}} + 4 \times \dfrac{2}{{39}} = \dfrac{{416}}{{195}}.$$ 备注2 问题3 当取出的 $4$ 个球是同一种颜色时，求这种颜色是黑色的概率． 答案3 $\dfrac{2}{3}$ 解析3 设 $A$ 表示事件"取出的 $4$ 个球是同一种颜色"，$B$ 表示事件"取出的 $4$ 个球都是黑色球"．<br/>因为 $P\left( A \right) = \dfrac{{\mathrm{C}_7^4 + \mathrm{C}_8^4}}{{\mathrm{C}_{15}^4}} = \dfrac{1}{{13}}$，$P\left( {AB} \right) = \dfrac{{\mathrm{C}_8^4}}{{\mathrm{C}_{15}^4}} = \dfrac{2}{{39}}$，所以$$P\left( {B|A} \right) = \dfrac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \dfrac{2}{3},$$故当取出的 $4$ 个球是同一种颜色时，这种颜色是黑色的概率为 $\dfrac{2}{3}$． 备注3