如图，在三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 中，$A{A_1} \perp $ 底面 $ABC$，$BC \perp AC$，$BC = AC = 2$，$A{A_1} = 3$，$D$ 为棱 $AC$ 的中点．
【难度】
【出处】
2013年卓越大学联盟自主选拔录取学科基础测试数学试题
【标注】
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证明 $A{B_1}\parallel $ 平面 $BD{C_1}$；标注答案略解析连接 ${B_1}C$，交 $B{C_1}$ 于点 $E$，则 $E$ 为 ${B_1}C$ 中点．连接 $DE$．由于 $D$ 为棱 $AC$ 的中点，所以在 $\triangle AC{B_1}$ 中，$A{B_1}\parallel DE$，又因为 $DE \subset $ 平面 $BD{C_1}$，而且 $A{B_1} \not\subset $ 平面 $BD{C_1}$，所以 $A{B_1}\parallel $ 平面 $BD{C_1}$．
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求直线 $A{B_1}$ 与平面 $BC{C_1}{B_1}$ 所成角的正切值．标注答案$\dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}}$解析因为 $A{A_1} \perp $ 底面 $ABC$，$C{C_1}\parallel A{A_1}$，所以 $C{C_1} \perp $ 底面 $ABC$，故 $C{C_1} \perp AC$．又因 $BC \perp AC$，于是 $AC \perp $ 平面 $BC{C_1}{B_1}$，所以 $\angle AB{ _1}C$ 是直线 $A{B_1}$ 与平面 $BC{C_1}{B_1}$ 所成的角．
在 ${\mathrm {Rt}}\triangle AC{B_1}$ 中，$$AC = 2,B{ _1}C = \sqrt {B{C^2} + BB_1^2} = \sqrt {13}. $$于是$$\tan \angle A{B_1}C = \dfrac{{AC}}{{{B_1}C}} = \dfrac{2}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}}.$$所以，直线 $A{B_1}$ 与平面 $BC{C_1}{B_1}$ 所成角的正切值为 $\dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
