题目 如图所示，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为矩形，各棱及底边 $BC,DA$ 的长均为 $a$，$AB,CD$ 的长为 $\sqrt 2a$，过底面对角线 $AC$ 作与 $PB$ 平行的平面交 $PD$ 于 $E$．<br><img src="/static/images/d2c7ea0d2f9a40554b2be8e03933d7ef.png" class="img-responsive" /> 问题1 求二面角 $E-AC-D$ 的大小； 答案1 $\arctan\dfrac{\sqrt 6}4$ 解析1 连接 $OE$ 知，$PB\parallel OE$，所以 $E$ 为 $PD$ 的中点．<br/>又因为 $PA=PC=PB=PD$，所以 $PO\perp BD$ 且 $PO\perp AC$，从而有 $PO\perp \text{平面} ABCD$．<br/>取 $OD$ 的中点 $H$，连结 $EH$，在平面 $ABCD$ 上过 $H$ 作 $HF\perp AC$ 于 $F$，连结 $EF$，如图．<img src="/static/images/0cb37fe7973b543532f488e15df7f938.png" class="img-responsive" />容易知道 $\angle EFH$ 即为二面角 $E-AC-D$ 的平面角，$\angle EOD$ 即为 $EO$ 与底面 $ABCD$ 所成的角，容易计算得$$HF=\dfrac {\sqrt 6}6a,EH=\dfrac 12PO=\dfrac a4,OH=\dfrac {\sqrt 3a}4,$$从而有$$\tan\angle EFH=\dfrac {EH}{HF}=\dfrac {\sqrt 6}4,\tan\angle EOD=\dfrac {EH}{OH}=\dfrac {\sqrt 3}3,$$从而有二面角 $E-AC-D$ 的大小为 $\arctan\dfrac{\sqrt 6}4$； 备注1 问题2 记 $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $O$，求 $EO$ 与底面 $ABCD$ 所成角的大小； 答案2 $\dfrac {\pi}6$ 解析2 由 $(1)$ 知 $EO$ 与底面 $ABCD$ 所成角为 $\angle EOD=\dfrac {\pi}6$； 备注2 问题3 求 $DO$ 与平面 $EAC$ 所成角的大小． 答案3 $\arcsin{\dfrac {2\sqrt{66}}{33}}$ 解析3 由等体积法可以计算出点 $D$ 到平面 $EAC$ 的距离 $d=\dfrac {\sqrt 2}{\sqrt{11}}$（注意，$EH\perp AC$），从而有$$\sin\theta=\dfrac d{OD}=\dfrac {2\sqrt{66}}{33},$$即所求角大小为 $\arcsin{\dfrac {2\sqrt{66}}{33}}$． 备注3 也可以由 $O$ 为原点建立空间直角坐标系进行计算．