题目 已知函数 $f\left(x\right)=nx-x^n$，$x\in \mathbb R$，其中 $n\in \mathbb N^*$，且 $n\geqslant 2$． 问题1 讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性； 答案1 当 $n$ 为奇数时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减，在 $(-1,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减；<br/>当 $n$ 为偶数时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减 解析1 根据题意，有$$f'(x)=n-nx^{n-1},$$于是按 $n$ 是奇数或偶数讨论．<br/>当 $n$ 为奇数时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减，在 $(-1,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减；<br/>当 $n$ 为偶数时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减． 备注1 问题2 设曲线 $y=f\left(x\right)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y=g\left(x\right)$，求证：对于任意的正实数 $x$，都有 $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$； 答案2 略 解析2 根据题意，$P$ 的坐标为 $P\left(n^{\frac 1{n-1}},0\right)$，于是曲线在点 $P$ 处的切线方程为$$g(x)=\left(n-n^2\right)\left(x-n^{\frac{1}{n-1}}\right),$$进而$$g(x)-f(x)=x^n-n^2x+(n^2-n)\cdot n^{\frac{1}{n-1}},$$其导函数为$$\left(g(x)-f(x)\right)'=nx^{n-1}-n^2,$$于是在区间 $(0,+\infty )$ 上，函数 $g(x)-f(x)$ 在 $x=n^{\frac{1}{n-1}}$ 处取得极小值，同时也为最小值 $0$．因此原命题得证． 备注2 问题3 若关于 $x$ 的方程 $f\left(x\right)=a$（$a$ 为实数）有两个正实数根 $x_1,x_2$，求证：$\left|x_2-x_1 \right|<\dfrac {a}{1-n}+2$． 答案3 略 解析3 显然符合题意的 $a>0$．<br/>不妨设 $0<x_1<x_2<n^{\frac{1}{n-1}}$，以下所有 $x$ 的范围默认为 $\left[0,n^{\frac 1{n-1}}\right]$．<br/>考虑函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线 $h(x)=nx$，由于$$h(x)-f(x)=x^n\geqslant 0,$$于是可得 $f(x)\leqslant h(x)$，如图．<img src="/static/images/6b0b45bb6228ff77e33017964063f637.png" class="img-responsive" />因此我们可以利用直线 $y=g(x)$ 与 $y=h(x)$ 对 $x_1,x_2$ 进行线性估计（以直代曲）．<br/>设 $f\left(x_1\right)=h\left(x_3\right)=g\left(x_4\right)=f\left(x_2\right)=a$，则有$$x_3<x_1<x_2<x_4,$$于是有$$\left|x_1-x_2\right|<x_4-x_3=\left(\dfrac{a}{n-n^2}+n^{\frac{1}{n-1}}\right)-\dfrac{a}{n}=\dfrac{a}{1-n}+n^{\frac{1}{n-1}},$$接下来只需要证明 $n^{\frac{1}{n-1}}\leqslant 2$，即 $n\leqslant 2^{n-1}$．事实上，根据二项式定理，有$$2^{n-1}=(1+1)^{n-1}\geqslant 1+{\rm C}_{n-1}^1=n,$$等号当且仅当 $n=2$ 时取得．因此原命题得证． 备注3