已知三次曲线 $C$：$y = {x^3} + b{x^2} + cx + d$ 的图象关于点 $A\left( {1, 0} \right)$ 中心对称．
【难度】
【出处】
2007年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
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求常数 $b$；标注答案$- 3$解析对原函数求导得$$y' = 3{x^2} + 2bx + c,$$于是两个极值点 ${x_1}$、${x_2}$ 满足$${x_1} + {x_2} = - \dfrac{{2b}}{3} = 2,$$所以 $b = - 3$．
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若曲线 $C$ 与直线 $l$：$y = 4x + 12$ 相切，求曲线 $C$ 的方程．标注答案$y = {x^3} - 3{x^2} - 5x + 7$解析点 $A\left( {1, 0} \right)$ 在曲线 $C$ 上，于是 $b + c + d + 1 = 0$，即$$c + d = 2,$$于是$$C:y = {x^3} - 3{x^2} + cx + 2 - c,$$求导得$$y' = 3{x^2} - 6x + c,$$设曲线 $C$ 与直线 $l:y = 4x + 12$ 相切于 $\left( {{x_0}, {y_0}} \right)$，则$$\begin{cases}3{x_0}^2 - 6{x_0} + c = 4,\\{x_0}^3 - 3{x_0}^2 + c{x_0} + 2 - c = 4{x_0} + 12,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}{x_0} = - 1,\\c = - 5 ,\end{cases}$$于是曲线 $C$ 的方程为 $y = {x^3} - 3{x^2} - 5x + 7$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
