求证：方程 ${2^x} - {x^2} - 7 = 0$ 只有一个实数解．
【难度】
【出处】
2008年南开大学自主招生考试数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $f(x)=2^x-x^2-7$，则其导数\[f'(x)=\ln 2\cdot 2^x-2x,\]其二阶导函数\[f''(x)=\ln^22\cdot 2^x-2,\]于是可得函数 $f(x)$ 有极大值点 $x_1$ 和极小值点 $x_2$，且 $0<x_1<2<2<x_2<4$．
考虑 $f(x)$ 的极大值\[f(x_1)=2^{x_1}-x_1^2-7<2^2-0^2-7=-3,\]而 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$，因此函数 $f(x)$ 只有一个零点．
考虑 $f(x)$ 的极大值\[f(x_1)=2^{x_1}-x_1^2-7<2^2-0^2-7=-3,\]而 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$，因此函数 $f(x)$ 只有一个零点．
答案
解析
备注
