已知 $x, y > 0$，$a = x + y$，$b = \sqrt {{x^2} + xy + {y^2}} $，$c = m\sqrt {xy} $．
问：是否存在正数 $m$，使得对于任意 $x, y > 0$，均存在以 $a, b, c$ 为三边长的三角形？如果存在，求出 $m$ 的取值范围；如果不存在，请说明理由．
问：是否存在正数 $m$，使得对于任意 $x, y > 0$，均存在以 $a, b, c$ 为三边长的三角形？如果存在，求出 $m$ 的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
2008年浙江大学自主招生保送生测试试题
【标注】
【答案】
存在，$m$ 的取值范围是 $\left( {2 - \sqrt 3 , 2 + \sqrt 3 } \right)$
【解析】
因为$$a = \sqrt {{x^2} + 2xy + {y^2}} > b,$$所以 $a, b, c$ 能够构成三角形，等价于$$a - b < c < a + b,$$即$$\dfrac{{x + y - \sqrt {{x^2} + xy + {y^2}} }}{{\sqrt {xy} }} < m < \dfrac{{x + y + \sqrt {{x^2} + xy + {y^2}} }}{{\sqrt {xy} }},$$所以问题转化为求左边的最大值和右边的最小值的问题．
由于式子轮换齐次，所以不妨设 $xy = 1$，此时\[\begin{split}RHS&= x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2} + xy}\geqslant 2 + \sqrt 3,\\ LHS &= x + y - \sqrt {{x^2} + {y^2} + 1}= \dfrac{1}{{x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 1} }}\leqslant 2 - \sqrt 3,\end{split}\]所以 $m$ 的取值范围是 $\left( {2 - \sqrt 3 , 2 + \sqrt 3 } \right)$．
由于式子轮换齐次，所以不妨设 $xy = 1$，此时\[\begin{split}RHS&= x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2} + xy}\geqslant 2 + \sqrt 3,\\ LHS &= x + y - \sqrt {{x^2} + {y^2} + 1}= \dfrac{1}{{x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 1} }}\leqslant 2 - \sqrt 3,\end{split}\]所以 $m$ 的取值范围是 $\left( {2 - \sqrt 3 , 2 + \sqrt 3 } \right)$．
答案
解析
备注
