已知 $\left| PM \right|-\left| PN \right|=2\sqrt{2}$，$M\left( -2,0 \right)$，$N\left( 2,0 \right)$，求点 $P$ 的轨迹 $W$；直线 $y=k\left( x-2 \right)$ 与 $W$ 交于点 $A$，$B$，求 ${{S}_{\triangle OAB}}$（$O$ 为原点）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$P$ 的轨迹 $W$ 为双曲线 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=2$ 的右半支；$S_{\triangle OAB}=\dfrac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{4}}}}{{{k}^{2}}-1},{{k}^{2}}>1 $
【解析】
结合双曲线定义知，$P$ 的轨迹 $W$ 为双曲线 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=2$ 的右半支．
联立 $W$ 与直线方程，有$${{x}^{2}}-{{k}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}-2=0,$$即$$\left( {{k}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}-4{{k}^{2}}x+4{{k}^{2}}+2=0.$$由于直线系的定点 $\left( 2,0 \right)$ 在双曲线右半支内部，故存在两个交点只需要 ${{k}^{2}}>1$．
此时$$\begin{split}\left| AB \right|&=\sqrt{1+{{k}^{2}}}\cdot \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\\ &=\dfrac{2\sqrt{2}\left( {{k}^{2}}+1 \right)}{{{k}^{2}}-1},\end{split}$$而点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离为 $\dfrac{2\left| k \right|}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}$，于是所求面积$$\begin{split}{{S}_{\triangle OAB}}&=\frac{1}{2}\cdot \dfrac{2\left| k \right|}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}\cdot \frac{2\sqrt{2}\left( {{k}^{2}}+1 \right)}{{{k}^{2}}-1}\\ &=\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{4}}}}{{{k}^{2}}-1},{{k}^{2}}>1.\end{split}$$
联立 $W$ 与直线方程，有$${{x}^{2}}-{{k}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}-2=0,$$即$$\left( {{k}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}-4{{k}^{2}}x+4{{k}^{2}}+2=0.$$由于直线系的定点 $\left( 2,0 \right)$ 在双曲线右半支内部，故存在两个交点只需要 ${{k}^{2}}>1$．
此时$$\begin{split}\left| AB \right|&=\sqrt{1+{{k}^{2}}}\cdot \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\\ &=\dfrac{2\sqrt{2}\left( {{k}^{2}}+1 \right)}{{{k}^{2}}-1},\end{split}$$而点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离为 $\dfrac{2\left| k \right|}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}$，于是所求面积$$\begin{split}{{S}_{\triangle OAB}}&=\frac{1}{2}\cdot \dfrac{2\left| k \right|}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}\cdot \frac{2\sqrt{2}\left( {{k}^{2}}+1 \right)}{{{k}^{2}}-1}\\ &=\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{4}}}}{{{k}^{2}}-1},{{k}^{2}}>1.\end{split}$$
答案
解析
备注
