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设 $a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}$ 均为整数，性质 $P$：对 $a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}$ 中任意 $2n$ 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组 $n$ 个数，使得两组所有元素的和相等．求证：$a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}$ 全部相等当且仅当 $a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}$ 具有性质 $P$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    简单组合
    >
    简单组合
【答案】
略
【解析】
情形1当 $a_1=a_2=\cdots=a_{2n+1}$ 时，$\{a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}$ 显然具有性质 $P$；
情形2当 $G_1=\{a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}$ 具有性质 $P$ 时，记 $S_i$ 是集合 $G_i$ 中所有元素的和，则$$S_1-a_1,S_1-a_2,\cdots,S_1-a_{2n+1},$$均为偶数，也就是说 $a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}$ 均为奇数或者均为偶数．
作变换$$f(G)=\begin{cases}\left\{\dfrac{a_1}{2},\dfrac{a_2}{2},\cdots,\dfrac{a_{2n+1}}{2}\right\},&a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}\equiv0(\mod 2)\\ \left\{\dfrac{a_1+1}{2},\dfrac{a_2+1}{2},\cdots,\dfrac{a_{2n+1}+1}{2}\right\},&a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}\equiv1(\mod 2)\end{cases}$$则 $f(G)$ 仍然具有性质 $P$．
记 $G_{n+1}=f(G)$，则$$S_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{S_n}{2},&a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}\equiv0(\mod 2)\\ \dfrac{S_n}{2}+1,&a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1}\equiv1(\mod 2)\end{cases}$$说明如果 $G_n\ne G_{n+1}$ 那么 $|S_{n+1}|<|S_n|$，而 $|S_{n+1}|\geqslant0$，说明从某项起 $G_n$ 是常集合，而这个集合只可能是 $\{1,1,\cdots,1\}$，倒推回去，就可以得到 $a_1=a_2=\cdots=a_{2n+1}$．
答案 解析 备注
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