求证：$1+\ln x<x^3+x^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
即证明$$1+2\ln x<x^6+x^4,$$也即$$\dfrac{1+2\ln x}{x^5}<x+\dfrac 1x.$$记左侧函数为 $f(x)$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{-3-10\ln x}{x^6},$$其极大值，亦为最大值等于$$f\left({\rm e}^{-\frac{3}{10}}\right)=\dfrac 25{\rm e}^{\frac 32}<2\leqslant x+\dfrac 1x,$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
