若 ${\rm e}^x>a\ln x$ 对任意 $x>1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,\dfrac{{\rm e}^{{\rm e}^{W(1)}}}{W(1)}\right)$
【解析】
考虑分离变量，问题即\[\forall x>1,a<\dfrac{{\rm e}^x}{\ln x},\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\left(x\ln x-1\right)}{x\ln^2x},\]因此函数 $\varphi(x)$ 在 $x={\rm e}^{W(1)}$ 处取得极小值，亦为最小值．进而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{{\rm e}^{{\rm e}^{W(1)}}}{W(1)}\right)$．
答案
解析
备注
