在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$E$、$F$、$G$ 点分别为 $A{A_1}$、$AD$、${A_1}{B_1}$ 的中点，求：
【难度】
【出处】
2005年复旦大学保送生招生测试
【标注】
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点 $B$ 到平面 $EFG$ 的距离；标注答案$\dfrac{\sqrt 3}2$解析如图．
由等体积法，可得\[V_{B-EFG}=V_{F-BEG}=\dfrac 13\cdot \dfrac 12\cdot \dfrac 38=\dfrac{1}{16}.\]在 $\triangle EFG$ 中，有\[\cos\angle GEF=\dfrac{EF^2+EG^2-FG^2}{2\cdot EF\cdot EG}=-\dfrac 12,\]于是\[S_{\triangle EFG}=\dfrac 12\sin\angle GEF\cdot EF\cdot EG=\dfrac{\sqrt 3}8,\]因此\[d(B,EFG)=\dfrac{3V_{B-EFG}}{S_{\triangle DEF}}=\dfrac{\sqrt 3}2.\] -
二面角 $G - EF - {D_1}$ 的平面角 $\theta $ 的大小．标注答案$\arccos\dfrac{\sqrt 3}3$解析如图，连接 $A_1F$．
由面积射影定理，可得\[\cos\theta=\dfrac{S_{\triangle A_1EF}}{S_{\triangle GEF}}=\dfrac{\dfrac 18}{\dfrac{\sqrt 3}8}=\dfrac{\sqrt 3}3,\]于是二面角 $G-EF-D_1$ 的平面角 $\theta$ 的大小为 $\arccos\dfrac{\sqrt 3}3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
