题目 在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$E$ 为 $CD$ 的中点． 问题1 求证：四面体 $A - {A_1}{C_1}E$ 与四面体 $C - {A_1}{C_1}E$ 的体积相等； 答案1 略 解析1 四面体 $A - {A_1}{C_1}E$ 的体积$$\begin{split}V_1&=\dfrac 13\cdot\left(\dfrac 12\cdot |CE|\cdot |CC_1|\right)\cdot |AD|\\ &=\dfrac 16\cdot a\cdot \dfrac 12a\cdot a\\ &=\dfrac {1}{12}a^2.\end{split}$$设点 $E$ 到平面 $AA_1C_1$ 的距离为 $d$，则 $d=\dfrac {\sqrt 2}{4}a$，所以四面体 $C - {A_1}{C_1}E$ 的体积$$ \begin{split}V_2&=\dfrac 13\cdot\left(\dfrac 12\cdot |A_1C_1|\cdot |AA_1|\right)\cdot d\\ &=\dfrac 16\cdot \sqrt 2a\cdot a\cdot \dfrac{\sqrt 2}{4}a\\ &=\dfrac {1}{12}a^2.\end{split}$$得证． 备注1 问题2 求点 $A$ 到平面 ${A_1}{C_1}E$ 的距离． 答案2 $\dfrac{1}{3}a$ 解析2 略 备注2