是否存在 $2011$ 个不同的正整数，使得任取它们中的两个数 $a,b$，均有 $|a-b|=(a,b)$ 成立？
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
存在
【解析】
存在．
因为 $|a-b|\geqslant (a,b)$，所以 $|a-b|=(a,b)$ 等价于 $|a-b||a$．下面用数学归纳法证明．
归纳基础 显然 $2$ 和 $3$ 即满足条件．
递推证明 设存在 $k(k\in{\mathbb N^*})$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$，满足对任意的 $1\leqslant i<j\leqslant k$，有 $|a_i-a_j||a_i$．
对 $(k+1)$，可这样选取 $(k+1)$ 个数：\[\begin{split}&b_1=a_1a_2\cdots a_k,\\ &b_2=a_1a_2\cdots a_k+a_1,\\ &b_3=a_1a_2\cdots a_k+a_2,\\ &\cdots \\&b_{k+1}=a_1a_2\cdots a_k+a_k.\end{split}\]对任意的 $1\leqslant i<j\leqslant k+1$，$$b_i-b_j=a_{i-1}-a_{j-1}(a_0=0).$$因为 $(a_{i-1}-a_{j-1})|a_1a_2\cdots a_k$，$(a_{i-1}-a_{j-1})|a_{i-1}$，所以 $(a_{i-1}-a_{j-1})|b_i$，则 $(b_i-b_j)|b_i$，所以，存在 $k+1$ 个数满足题目要求．
由归纳原理可知，存在任意有限个数满足要求，当然 $2011$ 个数也可以找到．
因为 $|a-b|\geqslant (a,b)$，所以 $|a-b|=(a,b)$ 等价于 $|a-b||a$．下面用数学归纳法证明．
对 $(k+1)$，可这样选取 $(k+1)$ 个数：\[\begin{split}&b_1=a_1a_2\cdots a_k,\\ &b_2=a_1a_2\cdots a_k+a_1,\\ &b_3=a_1a_2\cdots a_k+a_2,\\ &\cdots \\&b_{k+1}=a_1a_2\cdots a_k+a_k.\end{split}\]对任意的 $1\leqslant i<j\leqslant k+1$，$$b_i-b_j=a_{i-1}-a_{j-1}(a_0=0).$$因为 $(a_{i-1}-a_{j-1})|a_1a_2\cdots a_k$，$(a_{i-1}-a_{j-1})|a_{i-1}$，所以 $(a_{i-1}-a_{j-1})|b_i$，则 $(b_i-b_j)|b_i$，所以，存在 $k+1$ 个数满足题目要求．
由归纳原理可知，存在任意有限个数满足要求，当然 $2011$ 个数也可以找到．
答案
解析
备注
