不等式 $\sin{2\theta}-(2\sqrt 2+\sqrt 2 a)\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{2\sqrt 2}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}>-3-2a$ 对 $\theta \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$(3,+\infty)$
【解析】
设 $x=\sin \theta+\cos \theta$，则有$$\sin {2\theta}=x^2-1,$$而$$\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt 2}{2}x,x\in[1,\sqrt 2],$$所以原不等式化为$$x^2-1-(2\sqrt 2+\sqrt 2a)\dfrac{\sqrt 2}{2}x-\dfrac{2\sqrt 2}{\dfrac{\sqrt 2}{2}x}>-3-2a,$$即$$x^2-1-(2+a)x-\dfrac 4x+3+2a>0,$$整理得$$(2-x)a>2x-x^2+\dfrac{4-2x}{x}=x(2-x)+2\times \dfrac{2-x}{x}.$$因为$$x\in[1,\sqrt 2],2-x>0,$$所以得 $a>x+\dfrac 2x$．
令 $f(x)=x+\dfrac 2x$，则函数 $f(x)$ 在 $x\in[1,\sqrt 2]$ 上单调递减，所以 $f(x)$ 在 $x\in[1,\sqrt 2]$ 上的最大值为 $f(1)=3$．
故 $a$ 的取值范围为 $a>3$．
令 $f(x)=x+\dfrac 2x$，则函数 $f(x)$ 在 $x\in[1,\sqrt 2]$ 上单调递减，所以 $f(x)$ 在 $x\in[1,\sqrt 2]$ 上的最大值为 $f(1)=3$．
故 $a$ 的取值范围为 $a>3$．
答案
解析
备注
