甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分；当其中一人的得分比另一人的多 $2$ 分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过 $20$ 次，即经 $20$ 次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为 $p(0<p<1)$，乙获胜的概率为 $q=1-p$．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经 $\xi$ 次结束，求 $\xi$ 的期望 $E(\xi)$ 的变化范围．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$\left(2,4-\left(\dfrac 12\right)^8\right]$
【解析】
以 $p(\xi=k)$ 记比赛经 $k$ 次结束的概率，若 $k$ 为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因而有 $p(\xi=k)=0$．
考虑头两次比赛的结果：
情形一 甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为 $p^2+q^2$；
情形二 甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为 $2pq$．
比赛经 $k$ 次结束，$k$ 必为偶数，则 $1,2$ 两次，$3,4$ 两次，$\cdots$，$k-3,k-2$ 两次均未分胜负．
若 $k\ne 20$，则第 $k-1,k$ 为有胜负的两次，从而有$$p(\xi=k)=(2pq)^{\frac k2-1}(p^2+q^2).$$综上所述，$$E(\xi)=(p^2+q^2)\sum\limits_{i=1}^9{2i(2pq)^{i-1}}+20(2pq)^9,$$由 $p+q=1$ 知$$p^2+q^2=1-2pq.$$令 $u=2pq$，则$$p^2+q^2=1-u,$$所以$$E(\xi)=(1-u)\sum\limits_{i=1}^9{2iu^{i-1}}+20u^9.$$令 $\displaystyle s=\sum\limits_{i=1}^9{2iu^{i-1}}$，则$$us=\sum\limits_{i=1}^9{2iu^i}=\sum\limits_{i=2}^{10}{2(i-1)u^{i-1}}=\sum\limits_{i=1}^{10}{2(i-1)u^{i-1}},$$所以$$(1-u)s=\sum\limits_{i=1}^9{2u^{i-1}}-18u^{9}=\dfrac{2(1-u^9)}{1-u}-18u^9,$$故\[\begin{split}E(\xi)&=(1-u)s+20u^9\\&=\dfrac 2{1-u}[1-u^9-9u^9(1-u)+10u^9(1-u)]\\&=\dfrac{2(1-u^{10})}{1-u}.\end{split}\]因为 $0<u\leqslant \dfrac 12$，所以 $2<E(\xi)\leqslant 4-\left(\dfrac 12\right)^8$．
考虑头两次比赛的结果：
比赛经 $k$ 次结束，$k$ 必为偶数，则 $1,2$ 两次，$3,4$ 两次，$\cdots$，$k-3,k-2$ 两次均未分胜负．
若 $k\ne 20$，则第 $k-1,k$ 为有胜负的两次，从而有$$p(\xi=k)=(2pq)^{\frac k2-1}(p^2+q^2).$$综上所述，$$E(\xi)=(p^2+q^2)\sum\limits_{i=1}^9{2i(2pq)^{i-1}}+20(2pq)^9,$$由 $p+q=1$ 知$$p^2+q^2=1-2pq.$$令 $u=2pq$，则$$p^2+q^2=1-u,$$所以$$E(\xi)=(1-u)\sum\limits_{i=1}^9{2iu^{i-1}}+20u^9.$$令 $\displaystyle s=\sum\limits_{i=1}^9{2iu^{i-1}}$，则$$us=\sum\limits_{i=1}^9{2iu^i}=\sum\limits_{i=2}^{10}{2(i-1)u^{i-1}}=\sum\limits_{i=1}^{10}{2(i-1)u^{i-1}},$$所以$$(1-u)s=\sum\limits_{i=1}^9{2u^{i-1}}-18u^{9}=\dfrac{2(1-u^9)}{1-u}-18u^9,$$故\[\begin{split}E(\xi)&=(1-u)s+20u^9\\&=\dfrac 2{1-u}[1-u^9-9u^9(1-u)+10u^9(1-u)]\\&=\dfrac{2(1-u^{10})}{1-u}.\end{split}\]因为 $0<u\leqslant \dfrac 12$，所以 $2<E(\xi)\leqslant 4-\left(\dfrac 12\right)^8$．
答案
解析
备注
