正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
-
证明：$AB_{1}\parallel \text{平面}BDC_{1}$；标注答案略解析取 $A_{1}C_{1}$ 的中点 $D_{1}$，则 $AD_{1}C_{1}D$ 为平行四边形，所以$$AD_{1}\parallel DC_{1},$$从而$$AD_{1}\parallel\text{平面}BDC_{1}.$$又 $B_{1}D_{1}\parallel BD$，所以$$B_{1}D_{1}\parallel\text{平面}BDC_{1}.$$结合这两个平行关系可知平面 $AB_{1}D_{1}\parallel \text{平面}BDC_{1}$，从而$$AB_{1}\parallel \text{平面}BDC_{1}.$$
-
当 $\dfrac{AA_{1}}{AB}$ 取何值时，$AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 垂直？标注答案$\dfrac{\sqrt 2}{2}$解析不妨设棱长为 $1$，侧棱长为 $x$，则我们有$$\begin{cases}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\dfrac{1}{2},\\\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{BB_{1}}\cdot \overrightarrow{BC}=0,\\\overrightarrow{BB_{1}}\cdot \overrightarrow{CC_{1}}=x^{2}.\end{cases}$$因为$$\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_{1}} , \overrightarrow{BC_{1}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}},$$所以\[\begin{split}\overrightarrow{AB_{1}}\cdot \overrightarrow{BC_{1}}&=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_{1}}\right)\cdot \left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}\right)\\ &=-\dfrac{1}{2}+x^{2},\end{split}\]令上式等于 $0$，即得 $x=\dfrac{\sqrt 2}{2}$，这也就表明$$\dfrac{AA_{1}}{AB}=\dfrac{\sqrt 2}{2}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
