设 $A+B+C=180^{\circ}$，且满足：$\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=1$，求 $\dfrac{\cos{2A}+\cos{2B}+\cos {2C}}{\cos A+\cos B+\cos C}$ 的值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
由$$\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=1,$$即$$\sin A+\sin B+\sin C=\cos A+\cos B+\cos C,$$两边平方得\[\begin{split}&\sin^2A+\sin ^2B+\sin ^2C+2(\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A)\\=&\cos ^2A+\cos^2B+\cos^2 C+2(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A ),\end{split}\]所以\[\begin{split}&(\cos^2 A-\sin ^2A)+(\cos ^2 B-\sin ^2 B)+(\cos ^2 C-\sin ^2 C)\\=&-2[\cos(A+B)+\cos(B+C)+\cos (C+A)],\end{split}\]即$$\cos 2A+\cos {2B}+\cos {2C}=2(\cos A+\cos B+\cos C),$$故$$\dfrac{\cos{2A}+\cos{2B}+\cos{2C}}{\cos A+\cos B+\cos C}=2.$$
答案
解析
备注
