题目 设函数 $f(x)=\cos x\cos (x-\theta)-\dfrac 12 \cos \theta ,x\in \mathbb R,0<\theta <\pi$．已知当 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 时，$f(x)$ 取得最大值． 问题1 求 $\theta$ 的值； 答案1 $\dfrac{2\pi}{3}$ 解析1 对函数进行化简\[\begin{split}f(x)&=\cos x(\cos x \cos\theta+\sin x \sin\theta)-\dfrac 12 \cos \theta\\&=\dfrac{1+\cos {2x}}{2}\cos \theta +\dfrac 12 \sin{2x}\sin \theta -\dfrac 12 \cos \theta\\&=\dfrac 12 \cos(2x -\theta). \end{split}\]由 $f(x)_{\max}=f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac 12$，得$$\dfrac 12\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}-\theta\right)=\dfrac 12,$$即$$\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}-\theta\right)=1.$$又因为 $0<\theta <\pi$，所以 $\theta =\dfrac{2\pi}{3}$． 备注1 问题2 设 $g(x)=2f\left(\dfrac 32 x\right)$，求函数 $g(x)$ 在 $\left[0,\dfrac {\pi}{3}\right]$ 上的最小值． 答案2 $-\dfrac 12$ 解析2 由 $(1)$ 知$$f(x)=\dfrac 12 \cos \left(2x-\dfrac{2\pi}{3}\right),$$则$$g(x)=2f\left(\dfrac 32 x\right)=\cos \left(3x-\dfrac {2\pi}{3}\right).$$因为 $0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{3}$，所以$$-\dfrac{2\pi}{3}\leqslant 3x-\dfrac{2\pi}{3}\leqslant \dfrac{\pi}{3},$$故当 $3x-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{2\pi}{3}$，即 $x=0$ 时，$g(x)$ 的最小值为$$g(x)_{\min}=-\dfrac 12.$$ 备注2