在如图所示的几何体中，$EA\perp$ 平面 $ABC$，$DB\perp $ 平面 $ABC$，$AC\perp BC$，且 $BC=BD=\dfrac 32 AE=a$，$AC=\sqrt 2 a$，$AM=2MB$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求证：$CM\perp EM$；标注答案略解析因为$$BC=a,AC=\sqrt 2 a,AC\perp BC,$$所以$$AB=\sqrt 3 a.$$过 $C$ 作 $CM'\perp AB$ 交 $AB$ 于 $M'$，则$$BC^2=BM'\cdot BA,$$所以$$BM'=\dfrac{\sqrt 3}{3}a.$$因此$$AM'=2M'B,$$故 $M$ 与 $M'$ 重合，所以$$CM\perp AB.$$又因为 $EA\perp $ 平面 $ABC$，$CM\subset $ 平面 $ABC$，所以$$CM\perp EA.$$因为 $EA\cap AB=A$，所以 $CM\perp$ 平面 $EABD$，从而 $CM\perp EM$．
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求直线 $CD$ 与平面 $MCE$ 所成角的大小．标注答案$\arcsin{\dfrac{\sqrt 6}{3}}$解析又因为 $CM\subset $ 平面 $EMC$，所以平面 $EMC\perp $ 平面 $EABD$，且平面 $EMC\cap $ 平面 $EABD=EM$．
过 $D$ 作 $DF\perp EM$ 交 $EM$ 于 $F$，则 $DF\perp $ 平面 $EMC$．
连接 $FC$，则 $\angle{DCF}$ 为 $CD$ 与平面 $MCE$ 所成的角．
用等面积法计算得$$DF=\dfrac{2\sqrt 3}{3}a,$$因此$$\sin{\angle{DCF}}=\dfrac {DF}{CD}=\dfrac{\sqrt 6}{3},$$故 $\angle{DCF}=\arcsin {\dfrac{\sqrt 6}{3}}$．
所以直线 $CD$ 与平面 $MCE$ 所成角的大小为 $\arcsin{\dfrac{\sqrt 6}{3}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
