已知函数 $y=f(x)$，点 $A,B,C \in l$，且$$\overrightarrow {OA}+(y-ax^2{\mathrm e}^x -1)\overrightarrow {OB} -[(x-1){\mathrm e}^x+f'(0)]\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0},$$其中 $\mathrm e$ 是自然对数的底数，$O \not \in l$，$a \in \mathbb R$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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若 $a<0$，求函数 $f(x)$ 及其单调区间；标注答案$$f(x)=(ax^2+x-1){\mathrm e}^x.$$① 若 $-\dfrac 12<a<0$，$f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty,0]$，$\left[-\dfrac {2a+1}{a},+\infty\right)$；
单调递增区间为 $\left[0,-\dfrac {2a+1}{a}\right]$．
② 若 $a=-\dfrac 12$，$f(x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty,+\infty)$．
③ 若 $a<-\dfrac 12$，$f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(-\infty,-\dfrac {2a+1}{a}\right]$，$[0,+\infty)$；
单调递增区间为 $\left[-\dfrac {2a+1}{a},0\right]$解析由三点共线知识得，$$\overrightarrow {OA}=-(y-ax^2{\mathrm e}^x -1)\overrightarrow {OB} +[(x-1){\mathrm e}^x+f'(0)]\overrightarrow {OC} ,$$其中$$-(y-ax^2{\mathrm e}^x -1)+[(x-1){\mathrm e}^x+f'(0)]=1.$$所以$$y=ax^2{\mathrm e}^x +(x-1){\mathrm e}^x+f'(0),$$$$y'=[ax^2 +(2a+1)x]{\mathrm e}^x ,$$所以 $f'(0)=0$，即$$f(x)=(ax^2+x-1){\mathrm e}^x.$$\[\begin{split} f'(x)&=(2ax+1){\mathrm e}^x+(ax^2+x-1){\mathrm e}^x \\ &=[ax^2+(2a+1)x]{\mathrm e}^x \\ &=[x(ax+2a+1)]{\mathrm e}^x.\end{split}\]① 若 $-\dfrac 12<a<0$，当 $x<0$ 或 $x>-\dfrac {2a+1}{a}$ 时，$f'(x)<0$．当 $0<x<-\dfrac {2a+1}{a}$ 时，$f'(x)>0$．
所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty,0]$，$\left[-\dfrac {2a+1}{a},+\infty\right)$；
单调递增区间为 $\left[0,-\dfrac {2a+1}{a}\right]$．
② 若 $a=-\dfrac 12$，$f'(x)=-\dfrac 12x^2{\mathrm e}^x \leqslant 0$，故 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty,+\infty)$．
③ 若 $a<-\dfrac 12$，当 $x<-\dfrac {2a+1}{a}$ 或 $x>0$ 时，$f'(x)<0$；
当 $-\dfrac {2a+1}{a}<x<0$ 时，$f'(x)>0$．
所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(-\infty,-\dfrac {2a+1}{a}\right]$，$[0,+\infty)$；
单调递增区间为 $\left[-\dfrac {2a+1}{a},0\right]$． -
若 $a=-1$，函数 $f(x)$ 的图象与函数 $g(x)=\dfrac 13x^3+\dfrac 12x^2+m$ 的图象有 $3$ 个不同的交点，求实数 $m$ 的取值范围．标注答案$-\dfrac {3}{\mathrm e}-\dfrac 16<m<-1$解析函数 $f(x)$ 的图象与函数 $g(x)=\dfrac 13x^3+\dfrac 12x^2+m$ 的图象有 $3$ 个不同交点等价于 $h(x)=f(x)-g(x)$ 有三个不同的零点．
当 $a=-1$ 时，由 $(1)$ ③ 知，$f(x)=(-x^2+x-1){\mathrm e}^x$ 在 $(-\infty,-1]$ 上单调递减，在 $[-1,0]$ 上单调递增，在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，由 $g(x)=\dfrac 13x^3+\dfrac 12x^2+m$，得 $g'(x)= x^2+x$．
当 $x<-1$ 或 $x>0$ 时，$g'(x)>0$；
当 $-1<x<0$ 时，$g'(x)<0$．
所以 $g(x) $ 在 $(-\infty,-1]$ 上单调递增，在 $[-1,0]$ 上单调递减，在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．
所以，$h(x)=f(x)-g(x)$ 在 $(-\infty,-1]$ 上单调递减，在 $[-1,0]$ 上单调递增，在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，故 $h(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $h(-1)=-\dfrac {3}{\mathrm e}-\dfrac 16-m$，在 $x=0$ 处取得极大值 $h(0)=-1-m$．
又 $x \to -\infty$，$h(x) \to +\infty$；$x \to +\infty$，$h(x) \to -\infty$．所以要使 $h(x)$ 有三个不同的零点，当且仅当$$\begin{cases}h(-1)=-\dfrac {3}{\mathrm e}-\dfrac 16-m<0,\\ h(0)=-1-m>0.\end{cases}$$故 $-\dfrac {3}{\mathrm e}-\dfrac 16<m<-1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
