设 $a\leqslant 2$，求 $y=(x-2)|x|$ 在 $[a,2]$ 上的最大值和最小值．
【难度】
【出处】
2011年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
最大值 $y_{\max}=0$，最小值 $y_{min}=\begin{cases}a^2-2a,1\leqslant a\leqslant 2\\-1,1-\sqrt 2 \leqslant a<1\\-a^2+2a,a<1-\sqrt 2\end{cases}$
【解析】
当 $x\leqslant 0$ 时，$$y=-(x-1)^2+1,$$当 $x>0$ 时，$$y=(x-1)^2-1.$$由此可知 $y_{\max}=0$．
当 $1\leqslant a\leqslant 2$ 时，$y_{min}=a^2-2a$；
当 $1-\sqrt 2 \leqslant a<1$ 时，$y_{\min}=-1$；
当 $a<1-\sqrt 2$ 时，$y_{\min}=-a^2+2a$．
当 $1\leqslant a\leqslant 2$ 时，$y_{min}=a^2-2a$；
当 $1-\sqrt 2 \leqslant a<1$ 时，$y_{\min}=-1$；
当 $a<1-\sqrt 2$ 时，$y_{\min}=-a^2+2a$．
答案
解析
备注
