2014年全国高中数学联赛湖北省预赛

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  函数与方程

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  函数最值

$2$

令$$f(x)=2px^2+qx-p+1,x\in [-1,1].$$当 $p>0$ 时，
情形一 若 $-1 \leqslant -\dfrac {q}{4p}\leqslant 1$，即 $-4p \leqslant q \leqslant 4p$．
由题意知 $f\left(-\dfrac {q}{4p}\right) \geqslant 0$，即$$2p\cdot \left(-\dfrac {q}{4p}\right)^2+q\cdot \left(-\dfrac {q}{4p}\right)-p+1 \geqslant 0,$$整理得$$q^2+8\left(p-\dfrac 12\right)^2 \leqslant 2.$$设 $q=r\cos \theta$，$p-\dfrac 12=\dfrac {r\sin \theta}{2\sqrt 2}$，其中 $0\leqslant r \leqslant \sqrt 2$，$\theta \in [0,2\pi]$，则$$p+q=r\left(\dfrac {1}{2\sqrt 2}\cdot \sin \theta +\cos \theta\right)+\dfrac 12.$$设 $\varphi \in \left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$，且 $\tan \varphi=2\sqrt 2$，则\[\begin{split}p+q &=r\cdot \dfrac {3}{2\sqrt 2}\cdot (\sin \theta\cos \varphi+\cos \theta \sin \varphi)+\dfrac 12 \\&= r\cdot \dfrac {3}{2\sqrt 2}\sin (\theta+\varphi)+\dfrac 12 \\&\leqslant \dfrac {3}{2\sqrt 2}\cdot \sqrt 2 \cdot 1 +\dfrac 12 =2,\end{split}\]等号成立的条件是：$$r=\sqrt 2 , \sin \theta =\dfrac 13 , \cos \theta =\dfrac {2\sqrt 2}{3},$$即 $p=\dfrac 23$，$q=\dfrac 43$．
情形二 若 $ -\dfrac {q}{4p} <-1 $，即 $q>4p$．
由$$f(-1)=p-q+1 \geqslant 0,$$得$$q \leqslant p+1,$$所以$$4p<q \leqslant p+1,$$从而可得 $p<\dfrac 13$，此时$$p+q\leqslant 2p+1<\dfrac 53<2.$$情形三 若 $ -\dfrac {q}{4p} >1 $，即 $q<-4p$．$$p+q \leqslant -3p<0<2.$$当 $p\leqslant 0$ 时，由$$f(-1)=2p-q-p+1=p-q+1\geqslant 0,$$得 $q\leqslant p+1$，故$$p+q \leqslant 2p+1<2.$$综上可知，$p+q$ 的最大值为 $2$．