在非钝角三角形 $ABC$ 中，证明：$\sin A+\sin B+\sin C>2$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
作差得\[\begin{split}&\quad \sin A+\sin B+\sin C-2\\&=\sin A+\sin B+\sin (A+B)-\left(\sin^{2}+\cos^{2}A\right)-\left(\sin^{2}B+\cos^{2}B\right)\\&=\sin A(1-\sin A)+\sin B(1-\sin B)+\sin (A+B)-\left(\cos^{2}A+\cos^{2}B\right)\\&=\sin A(1-\sin A)+\sin B\left(1-\sin B\right)+\cos B(\sin A-\cos B)+\cos A(\sin B-\cos A)\end{split}\]因为在非钝角三角形 $ABC$ 中，任两个内角之和不小于 $90^{\circ}$，所以由$$A+B\geqslant 90^{\circ},$$得$$A\geqslant 90^{\circ}-B,B\geqslant 90^{\circ}-A,$$因此$$\sin B\geqslant \sin (90-A)=\cos A,$$同理$$\sin A\geqslant \cos B,$$而 $1-\sin A$，$1-\sin B$ 不能同时为 $0$，故$$\begin{split}&\quad \sin A+\sin B+\sin C-2\\&=\sin A(1-\sin A)+\sin B\left(1-\sin B\right)+\cos B(\sin A-\cos B)+\cos A(\sin B-\cos A)>0,\end{split}$$从而结论得证．
答案
解析
备注
