题目 设 $f(x)=\ln x-\dfrac 12ax^2-2x$，其中 $a<0$，且函数 $f(x)$ 存在单调递减区间． 问题1 求 $a$ 的取值范围； 答案1 $[-1,0)$ 解析1 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=\dfrac 1x-ax-2=-\dfrac {ax^2+2x-1}{x},x>0.$$因为函数 $f(x)$ 存在单调递减区间，所以不等式 $f'(x) \leqslant 0$，即$$ax^2+2x-1 \geqslant 0$$在 $(0,+\infty)$ 上有解．<br/>注意到 $a<0$，函数$$g(x)=ax^2+2x-14$$的图象过定点 $(0,-1)$，且对称轴$$x=-\dfrac 1a>0,$$所以$$\Delta=4+4a \geqslant 0,$$即 $a \geqslant -1$．<br/>故 $a$ 的取值范围为 $[-1,0)$． 备注1 问题2 若对满足条件的 $a$ 的任意值，$f(x)<b$ 在 $(0,1]$ 上恒成立，求实数 $b$ 的取值范围． 答案2 $\left(-\dfrac 32,+\infty\right)$ 解析2 首先，对任意的 $ a\in [-1,0)$，不等式$$\ln x-\dfrac 12ax^2-2x<b$$恒成立，则$$b>\left(\ln x -\dfrac 12ax^2-2x\right)_{\max}.$$因为函数 $h(a)=\ln x -\dfrac 12ax^2-2x$ 在 $[-1,0)$ 上单调递减，所以$$h(a)_{\max}=h(-1)=\dfrac 12x^2-2x+\ln x,$$故$$b>\dfrac 12x^2-2x+\ln x .$$其次，对任意的 $ x \in (0,1]$，不等式$$b> \dfrac 12 x^2-2x+\ln x$$恒成立，则$$b>\left( \dfrac 12 x^2-2x+\ln x \right)_{\max}.$$令 $m (x)=\dfrac 12 x^2-2x+\ln x $，则$$m'(x)=x-2+\dfrac 1x=\dfrac {(x-1)^2}{x} \geqslant 0,$$所以函数 $m(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增，故$$m(x)_{\max}=m(1)=-\dfrac 32.$$故 $b>-\dfrac 32$，即 $b$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 32,+\infty\right)$． 备注2